CONTENTS 7

18.4 Mean Ergodic Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49418.5 The Tychonoff And Schauder Fixed Point Theorems . . . . . . . . . . . . 49718.6 A Variational Principle of Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

18.6.1 Cariste Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50918.6.2 A Density Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

18.7 Quotient Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

19 Hilbert Spaces 51719.1 Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51719.2 The Hilbert Space L(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52219.3 Approximations In Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52819.4 The Müntz Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53119.5 Orthonormal Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53519.6 Fourier Series, An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53719.7 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

19.7.1 Compact Operators In Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . 53819.8 Sturm Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

19.8.1 Nuclear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55119.8.2 Hilbert Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

19.9 Compact Operators in Banach Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55719.10 The Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55819.11 Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56019.12 Ordinary Differential Equations in Banach Space . . . . . . . . . . . . . . 56519.13 Fractional Powers of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56819.14 General Theory of Continuous Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

19.14.1 An Evolution Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58519.14.2 Adjoints, Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58819.14.3 Adjoints, Reflexive Banach Space . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

20 Representation Theorems 59720.1 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59720.2 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60220.3 Representation Theorems For The Dual Space Of Lp . . . . . . . . . . . . 61120.4 The Dual Space Of L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61820.5 Non σ Finite Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62220.6 The Dual Space Of C0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62720.7 The Dual Space Of C0(X), Another Approach . . . . . . . . . . . . . . . 63220.8 More Attractive Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63320.9 Sequential Compactness In L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63520.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

21 The Bochner Integral 64321.1 Strong and Weak Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64321.2 The Bochner Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

21.2.1 Definition and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651