6 CONTENTS

14.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38514.2 Caratheodory Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38714.3 The Tychonoff Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38914.4 Kolmogorov Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39214.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

15 The Lp Spaces 39915.1 Basic Inequalities And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39915.2 Density Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40615.3 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40815.4 Continuity Of Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41015.5 Mollifiers And Density Of Smooth Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 41115.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

16 Stone’s Theorem 42116.1 Partitions Of Unity And Stone’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42416.2 An Extension Theorem, Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42616.3 Something Which Is Not A Retract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42916.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

17 Banach Spaces 43517.1 Theorems Based On Baire Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

17.1.1 Baire Category Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43517.1.2 Uniform Boundedness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43817.1.3 Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43917.1.4 Closed Graph Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

17.2 Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44317.2.1 Partially Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44417.2.2 Gauge Functions And Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . 44417.2.3 The Complex Version Of The Hahn Banach Theorem . . . . . . 44617.2.4 The Dual Space And Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . 448

17.3 Uniform Convexity Of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45117.4 Closed Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45717.5 Weak And Weak ∗ Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

17.5.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46017.5.2 Banach Alaoglu Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46117.5.3 Eberlein Smulian Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

17.6 Operators With Closed Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46617.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

18 Topological Vector Spaces 47918.1 Fundamental Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47918.2 Separation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

18.2.1 Convex Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48718.2.2 More Separation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

18.3 The Weak And Weak∗ Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492