CONTENTS 5

11.3.7 Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24711.3.8 The Righteous Algebraic Desires Of The Lebesgue Integral . . . 249

11.4 The Space L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24911.5 Vitali Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611.6 Measures and Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25811.7 Regular Measures in a Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26211.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

12 The Construction Of Measures 26912.1 Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.2 Urysohn’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28212.3 Positive Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28812.4 One Dimensional Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29512.5 One Dimensional Lebesgue Stieltjes Measure . . . . . . . . . . . . . . . 29512.6 The Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29712.7 Good Lambda Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29912.8 The Ergodic Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30112.9 Product Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30612.10 Alternative Treatment Of Product Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

12.10.1 Monotone Classes And Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 31812.10.2 Product Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

12.11 Completion Of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32512.12 Another Version Of Product Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

12.12.1 General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32912.12.2 Completion Of Product Measure Spaces . . . . . . . . . . . . . 332

12.13 Disturbing Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33512.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

13 Lebesgue Measure 33913.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33913.2 The Vitali Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34313.3 The Vitali Covering Theorem (Elementary Version) . . . . . . . . . . . . 34513.4 Vitali Coverings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34813.5 Change of Variables for Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35113.6 Change Of Variables For C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35413.7 Mappings Which Are Not One To One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35913.8 Lebesgue Measure And Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36013.9 Spherical Coordinates In p Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36213.10 The Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36613.11 The Brouwer Fixed Point Theorem Another Proof . . . . . . . . . . . . . 36913.12 Invariance Of Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37213.13 Besicovitch Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37613.14 Vitali Coverings and Radon Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

14 Some Extension Theorems 385