8 CONTENTS

21.2.2 Taking a Closed Operator Out of the Integral . . . . . . . . . . . 65521.3 Operator Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

21.3.1 Review of Hilbert Schmidt Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 66121.3.2 Measurable Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

21.4 Fubini’s Theorem for Bochner Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66621.5 The Spaces Lp (Ω;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66921.6 Measurable Representatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67621.7 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67821.8 The Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

21.8.1 An Example of Polish Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68821.9 Pointwise Behavior, Weakly Convergent Sequences . . . . . . . . . . . . 69021.10 Some Embedding Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69021.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

22 The Derivative 70722.1 Limits Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70722.2 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71022.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71222.4 The Derivative Of A Compact Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71322.5 The Matrix Of The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71322.6 A Mean Value Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71522.7 Higher Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72122.8 The Derivative And The Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . 72222.9 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72522.10 Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72722.11 More Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73422.12 Lyapunov Schmidt Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73522.13 Analytic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74022.14 Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74622.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

23 Degree Theory 75323.1 Sard’s Lemma and Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75623.2 Properties of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76223.3 Borsuk’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76523.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76923.5 Product Formula, Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 77323.6 The Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77723.7 Uniqueness of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78123.8 A Function With Values In Smaller Dimensions . . . . . . . . . . . . . . 78523.9 The Leray Schauder Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79023.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

24 Critical Points 80724.1 Mountain Pass Theorem In Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807