CONTENTS 9

25.7 Gradients and Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47825.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48125.9 Curl and Cross Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

26 Implicit Function Theorem* 48526.1 More Continuous Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48926.2 The Method Of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49026.3 The Local Structure Of C1 Mappings∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

II Differential Equations 495

27 Determinants 49727.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

27.1.1 Cofactors And 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49727.1.2 The Determinant Of A Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . 50127.1.3 Properties Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50227.1.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . . 503

27.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50527.2.1 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50527.2.2 Finding Eigenvalues Using Determinants . . . . . . . . . . . . . . 50927.2.3 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

27.3 MATLAB And Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51327.4 The Cayley Hamilton Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51327.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

28 The Mathematical Theory Of Determinants∗ 52528.0.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

28.1 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52728.1.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52728.1.2 Permuting Rows Or Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52828.1.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52928.1.4 The Alternating Property Of The Determinant . . . . . . . . . . . . 52928.1.5 Linear Combinations And Determinants . . . . . . . . . . . . . . . 53028.1.6 The Determinant Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53128.1.7 Cofactor Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53128.1.8 Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53328.1.9 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

29 First Order Scalar ODE 53729.1 First Order Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53729.2 Bernouli Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54529.3 Separable Differential Equations, Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54629.4 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55429.5 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55529.6 The Integrating Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55729.7 The Case Where M,N Are Affine Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56229.8 Linear and Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 56429.9 Computer Algebra Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567