8 CONTENTS

22.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40322.3 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

22.3.1 Coordinate Free Concept Of Divergence . . . . . . . . . . . . . . . 40822.4 Some Applications Of The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 409

22.4.1 Hydrostatic Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40922.4.2 Archimedes Law Of Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41022.4.3 Equations Of Heat And Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41022.4.4 Balance Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41222.4.5 Balance Of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41222.4.6 The Reynolds Transport Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41822.4.7 Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42022.4.8 Bernoulli’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42222.4.9 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42322.4.10 A Negative Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42322.4.11 Volumes Of Balls In Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42322.4.12 Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

22.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

23 Stokes And Green’s Theorems 42923.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42923.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43423.3 Stoke’s Theorem From Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

23.3.1 The Normal and the Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43823.3.2 The Mobeus Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

23.4 A General Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44123.4.1 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44223.4.2 Some Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

24 Moving Coordinate Systems 44724.1 The Acceleration In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44724.2 Planetary Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

24.2.1 The Equal Area Rule, Kepler’s Second Law . . . . . . . . . . . . . 45024.2.2 Inverse Square Law, Kepler’s First Law . . . . . . . . . . . . . . . 45024.2.3 Kepler’s Third Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

24.3 The Angular Velocity Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45424.4 Angular Velocity Vector on Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45524.5 Coriolis Force and Centripetal Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45724.6 Coriolis Force on the Rotating Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45824.7 The Foucault Pendulum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46024.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

25 Curvilinear Coordinates 46525.1 Basis Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46525.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46825.3 Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46925.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47225.5 Transformation of Coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47425.6 Differentiation and Christoffel Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475