CONTENTS 7

17.9 The Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32217.10The Gradient And Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32417.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

18 Optimization 32918.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32918.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33118.3 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33218.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33518.5 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33718.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34218.7 Proof Of The Second Derivative Test∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

19 The Riemannn Integral On Rn 34919.1 Methods For Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

19.1.1 Density And Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35319.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35419.3 Methods For Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

19.3.1 Definition Of The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35519.3.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

19.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35919.4.1 Mass And Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

19.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

20 The Integral In Other Coordinates 36520.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36520.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36720.3 Cylindrical And Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

20.3.1 Volume and Integrals in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . 36920.3.2 Volume And Integrals in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . 371

20.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37720.5 The General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37920.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38220.7 The Moment Of Inertia And Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . 38420.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

21 The Integral on Two Dimensional Surfaces In R3 38921.1 The Two Dimensional Area In R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38921.2 Surfaces Of The Form z = f (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39321.3 MATLAB and Graphing Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39421.4 Piecewise Defined Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39521.5 Flux Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39521.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

22 Calculus Of Vector Fields 39922.1 Divergence And Curl Of A Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

22.1.1 Vector Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40022.1.2 Vector Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40122.1.3 The Weak Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402