6 CONTENTS

13.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

14 Vector Valued Functions Of One Variable 25314.1 Limits Of A Vector Valued Function Of One Real Variable . . . . . . . . . 25314.2 The Derivative And Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

14.2.1 Geometric And Physical Significance Of The Derivative . . . . . . 25614.2.2 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25714.2.3 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

14.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26014.4 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

14.4.1 Arc Length And Orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26214.4.2 Line Integrals And Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26514.4.3 Another Notation For Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

14.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26814.6 Independence Of Parametrization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

14.6.1 Hard Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27014.6.2 Independence Of Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

15 Motion On A Space Curve 27515.1 Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

15.1.1 Some Simple Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27815.2 Geometry Of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27915.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

16 Functions Of Many Variables 28516.1 Review Of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28516.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28716.3 The Directional Derivative And Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . 288

16.3.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28816.3.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

16.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29216.5 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29316.6 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29416.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

17 The Derivative Of A Function Of Many Variables 29717.1 The Derivative Of Functions Of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . 29717.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29917.3 The Derivative Of Functions Of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . 30017.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30517.5 C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30617.6 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

17.6.1 The Chain Rule For Functions Of One Variable . . . . . . . . . . . 31017.6.2 The Chain Rule For Functions Of Many Variables . . . . . . . . . . 310

17.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31517.7.1 Related Rates Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31617.7.2 The Derivative Of The Inverse Function . . . . . . . . . . . . . . . 31817.7.3 Proof Of The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

17.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320