CONTENTS 5

10 Eigenvalues and Eigenvectors 17310.1 Definition of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.2 An Introduction to Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.2.1 Cofactors and 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17410.2.2 The Determinant of a Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 17710.2.3 Properties of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.2.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . . 179

10.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3.1 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3.2 Finding Eigenvalues Using Determinants . . . . . . . . . . . . . . 183

11 Matrices and The Inner Product 18511.1 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.2 Using Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19011.3 Distance and Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19011.4 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19111.5 Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19611.6 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.6.1 Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.6.2 Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20011.6.3 Regression lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20211.6.4 Identifying the Closest Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20411.6.5 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.7 The Singular Value Decomposition∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

12 Vector Valued Functions 21712.1 Vector Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21712.2 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21812.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22012.4 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.1 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . 22212.5 Limits Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.6 Properties Of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22612.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22712.8 Open And Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

13 Some Fundamentals∗ 23513.1 Combinations Of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23513.2 The Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23813.3 Convergent Sequences, Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . 23913.4 Continuity And The Limit Of A Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24113.5 The Extreme Value Theorem And Uniform Continuity . . . . . . . . . . . 24213.6 Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24313.7 Root Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24413.8 Convergence of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24513.9 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247