4 CONTENTS

6 Vector Products 756.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 The Geometric Significance Of The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.1 The Angle Between Two Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.2 Work And Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.3 The Dot Product And Distance In Cn . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4.1 The Box Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.5 Proof of the distributive law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.5.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.5.2 Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.5.3 Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.6 Vector Identities And Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7 Systems Of Equations 1057.1 Systems Of Equations, Algebraic Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.1 Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1.2 Gauss Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.3 Balancing Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1.4 Dimensionless Variables∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2 MATLAB And Row Reduced Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8 Matrices 1298.1 Addition And Scalar Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2 Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.3 Linear Transformations and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.4 Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.4.1 The Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.5 Some Examples of Linear Functions on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.5.1 Rotations in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.5.2 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.5.3 Rotations About A Particular Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.6 The Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.6.1 The Identity And Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.6.2 Finding The Inverse Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.7 MATLAB And Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9 Subspaces Spans and Bases 1599.1 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165