10 CONTENTS

29.9.1 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56729.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

30 Laplace Transform Methods 58130.1 Linear O.D.E. With Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58130.2 First Order Systems, Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

30.2.1 Some Technical Considerations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58730.2.2 Solving a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58930.2.3 Using a Computer Algebra System . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

30.3 Homogeneous Particular and General Solutions . . . . . . . . . . . . . . . 59330.4 Higher Order Scalar Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

31 Numerical Solutions For Systems 60131.1 A Few Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60131.2 Using MATLAB to Find Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60331.3 Stability of Equilibrium Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60431.4 Periodic Orbits, Poincare Bendixon Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 60831.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

32 Solutions Near a Regular Singular Point 61132.1 The Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61132.2 Some Simple Observations on Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 61532.3 Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61532.4 Abel’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61832.5 Finding the Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61932.6 The Bessel Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

32.6.1 The Case where ν = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62632.6.2 The Case of ν Not an Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62732.6.3 Case Where ν is an Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

32.7 Other Properties of Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63032.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

33 Boundary Value Problems, Fourier Series 63733.1 Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63733.2 Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63833.3 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64033.4 Mean Square Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64333.5 Pointwise Convergence of Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

33.5.1 Explanation of Pointwise Convergence Theorem . . . . . . . . . . 64833.5.2 Mean Square Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

33.6 Integrating and Differentiating Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . 65433.7 Odd and Even Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65833.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

34 Some Partial Differential Equations 66934.1 Laplacian in Orthogonal Curvilinear

Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66934.2 Heat and Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

34.2.1 Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670