CONTENTS 11

34.2.2 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67534.3 Nonhomogeneous Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67834.4 Laplace Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

34.4.1 Rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68334.4.2 Circular Disks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

34.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

III Fundamentals of Complex Analysis 695

35 Analytic Functions 69735.1 Cauchy Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69735.2 The Cauchy Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69835.3 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70035.4 Cauchy Integral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70535.5 Primitives and Cauchy Goursat Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70635.6 Functions Differentiable on a Disk, Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70935.7 Liouville’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71735.8 Riemann Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71835.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

36 Isolated Singularities and Analytic Functions 72736.1 Open Mapping Theorem for Complex Valued Functions . . . . . . . . . . . 72736.2 Functions Analytic on an Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73036.3 Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73436.4 Meromorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73636.5 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73736.6 Evaluation of Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73836.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

37 Some Fundamental Functions and Transforms 75137.1 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75137.2 Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75237.3 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75437.4 The Inversion of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75837.5 The Bromwich Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75937.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764

IV Probability and Statistics 767

38 Probability 76938.1 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76938.2 Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77138.3 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77238.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77438.5 Counting and Basic Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77438.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77738.7 General Considerations Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779