CONTENTS 5

10.8 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

11 Fundamental Transforms 26511.1 Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.2 Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26611.3 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811.4 Inversion of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27211.5 Fourier Transforms in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.6 Fourier Transforms of Just About Anything . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

11.6.1 Fourier Transforms in G ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.6.2 Fourier Transforms of Functions In L1 (Rn) . . . . . . . . . . . . 28011.6.3 Convolutions in L1 (Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.6.4 Fourier Transforms of Functions In L2 (Rn) . . . . . . . . . . . . 28311.6.5 The Schwartz Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28611.6.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

III Abstract Analysis 295

12 Banach Spaces 29712.1 Theorems Based on Baire Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

12.1.1 Bair Category Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29812.1.2 Uniform Boundedness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29912.1.3 Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30012.1.4 Closed Graph Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

12.2 Basic Theory of Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30412.2.1 Partially Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30712.2.2 Maximal Orthonormal Sets in Hilbert Space . . . . . . . . . . . 307

12.3 Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30912.3.1 Gauge Functions and Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . 30912.3.2 The Complex Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 31012.3.3 The Dual Space and Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . 311

12.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

13 Representation Theorems 31913.1 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31913.2 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31913.3 The Dual Space of Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32413.4 The Dual Space of L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32813.5 The Dual Space of C0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33113.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

IV Complex Analysis 339

14 Fundamentals 34114.1 Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341