6 CONTENTS

14.2 The Cauchy Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34114.3 The Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34314.4 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34514.5 Primitives and Cauchy Goursat Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35114.6 Primitives for Differentiable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35414.7 The Winding Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35514.8 The Cauchy Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35614.9 Zeros of Analytic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36114.10 The Gamma and Zeta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36314.11 The General Cauchy Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36614.12 Simply Connected Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36714.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

15 Isolated Singularities 37315.1 Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37315.2 Functions Analytic on an Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37615.3 Cauchy Integral Formula for a Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37915.4 An Example of a Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38215.5 Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38415.6 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38615.7 Evaluation of Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38715.8 The Inversion of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39415.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

16 Mapping Theorems 40316.1 Meromorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40316.2 Meromorphic on Extended Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 40516.3 Rouche’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40516.4 Fractional Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40616.5 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40816.6 Riemann Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

16.6.1 Montel’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41116.6.2 The Proof of Riemann Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . 413

16.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

17 Spectral Theory of Linear Maps 41917.1 The Resolvent and Spectral Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41917.2 Functions of Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42317.3 Invariant Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42617.4 Sectorial Operators and Analytic Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . 42917.5 The Numerical Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

A Green’s Theorem for a Jordan Curve 441A.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445