4 CONTENTS

7 The Abstract Lebesgue Integral 1597.1 Nonnegative Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.1.1 Riemann Integrals For Decreasing Functions . . . . . . . . . . . 1597.1.2 The Lebesgue Integral for Nonnegative Functions . . . . . . . . 160

7.2 Integration of Nonnegative Simple Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.3 The Monotone Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.4 Other Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.5 Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.6 The Integral’s Righteous Algebraic Desires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.7 The Lebesgue Integral, L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.8 The Dominated Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.9 Product Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.10 Some Important General Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7.10.1 Eggoroff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.10.2 The Vitali Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.11 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8 Positive Linear Functionals 1858.1 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.2 Positive Linear Functionals and Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.3 Approximation with Gδ and Fσ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.4 Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.5 Translation Invariance Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.6 The Vitali Covering Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.7 Hard Topology Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.7.1 The Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 2018.7.2 Invariance of Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.7.3 Jordan Curve Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9 Basic Function Spaces 2199.1 Bounded Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.2 Compactness in C (K,Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.3 The Lp Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.4 Approximation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.5 Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.6 A Useful Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10 Change of Variables 23910.1 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23910.2 Change of Variables Nonlinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.3 Mappings Which are Not One to One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24810.4 Spherical Coordinates in p Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.5 Approximation with Smooth Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.6 Continuity of Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.7 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256