CONTENTS 3

2.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Stone Weierstrass Approximation Theorem 793.1 The Bernstein Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2 The Case of Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3 The Case of a Closed Set in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4 The Case of Complex Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

II Real Analysis 89

4 The Derivative 914.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 The Matrix of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4 The Usual Form of the Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5 Differentiability and C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.6 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.7 A Cofactor Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.8 Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.9 More Continuous Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.10 Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.11 Taylor Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5 Line Integrals and Curves 1135.1 Existence and Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.1 Change of Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.1.2 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.1.3 The Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2 Estimates and Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.1 Finding the Length of a C1 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.2 Curves Defined in Pieces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.4 Orientation Of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.5 Piecewise Smooth Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 Measures and Measurable Functions 1376.1 Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.2 Measures and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3 Dynkin’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.4 Measures and Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.5 An Outer Measure on P (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.6 Measures from Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.7 When is a Measure a Borel Measure? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.8 One Dimensional Lebesgue Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153