4 CONTENTS

9.3 The Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.4 More on Algebraic Field Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.4.1 The Galois Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.4.2 Normal Field Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4.3 Normal Subgroups and Quotient Groups . . . . . . . . . . . . . 2219.4.4 Separable Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.4.5 Intermediate Fields and Normal Subgroups . . . . . . . . . . . . 2259.4.6 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.4.7 Solvable Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.4.8 Solvability by Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

9.5 A Few Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.5.1 The Normal Closure of a Field Extension . . . . . . . . . . . . . 2379.5.2 Conditions for Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

II Linear Algebra as Baby Functional Analysis 243

10 Normed Linear Spaces 24510.1 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

10.1.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.1.2 Cauchy Sequences, Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . 24810.1.3 Closure of a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.1.4 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.1.5 Separable Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.1.6 Compact Sets in Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25310.1.7 Lipschitz Continuity and Contraction Maps . . . . . . . . . . . . 25510.1.8 Convergence Of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

10.2 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25910.3 Subspaces Spans And Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.4 Inner Product and Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.4.1 The Inner Product in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.4.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410.4.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

10.5 Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.5.1 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26810.5.2 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

10.6 Equivalence Of Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.7 Norms On L (X ,Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27410.8 Limits Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27610.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11 Limits of Vectors and Matrices 28511.1 Regular Markov Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.2 Migration Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.3 Absorbing States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.4 Positive Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29311.5 Functions Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30011.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304