CONTENTS 3

4 Matrices 774.1 Properties of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Finding the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3 Linear Relations and Row Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4 Block Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5 Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 Linear Transformations 1015.1 L (V,W ) as a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2 The Matrix of a Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.3 Rotations About a Given Vector∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Direct Sums and Block Diagonal Matrices 1196.1 A Theorem of Sylvester, Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2 Finding the Minimum Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3 Eigenvalues, Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.4 Diagonalizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.5 A Formal Derivative and Diagonalizability . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7 Canonical Forms 1517.1 Reduction to Diagonal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.3 Cyclic Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.4 A Direct Sum Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.5 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.6 Canonical Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8 Determinants 1718.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.2 The Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.4 Basic Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.4.1 Binet Cauchy Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.5 Expansion Using Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.6 A Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.6.1 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.6.2 An Identity of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.7 Rank of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.8 Summary of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.9 The Cayley Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9 Some Items Which Resemble Linear Algebra 1959.1 The Symmetric Polynomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.2 Transcendental Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199