CONTENTS 5

10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

11 Power Series 24311.1 Functions Defined in Terms of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24311.2 Operations on Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24511.3 Power Series for Some Known Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24811.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24811.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25011.6 Multiplication of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25211.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.8 Some Other Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25511.9 Some Historical Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

12 Polar Coordinates 26112.1 Graphs in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112.2 The Area in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.3 The Acceleration in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.4 The Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26612.5 Polar Graphing in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26812.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

13 Algebra and Geometry of Rp 27113.1 Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27113.2 Algebra in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27213.3 Geometric Meaning Of Vector Addition In R3 . . . . . . . . . . . . . . . 27313.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27513.5 Distance in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27713.6 Geometric Meaning of Scalar Multiplication in R3 . . . . . . . . . . . . . 28113.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

14 Vector Products 28514.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28514.2 Geometric Significance of the Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

14.2.1 The Angle Between Two Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 28714.2.2 Work and Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

14.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29114.4 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

14.4.1 The Box Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29614.5 Proof of the Distributive Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

14.5.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29714.5.2 Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29814.5.3 Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

14.6 Vector Identities and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30114.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

15 Sequences, Compactness, Continuity 30915.1 Sequences of Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30915.2 Open and Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310