4 CONTENTS

5.19 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.20 Videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6 Infinite Series 1536.1 Basic Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2 Absolute Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3 Ratio and Root Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.5 Convergence Because of Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.6 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.8 Series of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7 The Integral 1717.1 The Definition of the Integral from Antiderivatives . . . . . . . . . . . . . 1737.2 Uniform Convergence and the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.3 The Riemann Darboux Integral∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.5 Videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8 Methods for Finding Antiderivatives 1918.1 The Method of Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.3 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.5 Trig. Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.7 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.8 Rational Functions of Trig. Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.9 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.11 Videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9 A Few Standard Applications 2159.1 Lengths of Curves and Areas of Surfaces of Revolution . . . . . . . . . . 215

9.1.1 Lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.1.2 Surfaces of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.3 Force on a Dam and Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.3.1 Force on a Dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.3.2 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.4 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10 Improper Integrals, Stirling’s Formula 22710.1 Stirling’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.2 The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23010.3 Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233