8 CONTENTS

20.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52320.2 Caratheodory Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52420.3 Kolmogorov Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52620.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

21 Banach Spaces 53321.1 Theorems Based on Baire Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

21.1.1 Baire Category Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53321.1.2 Uniform Boundedness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53621.1.3 Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53621.1.4 Closed Graph Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

21.2 Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54021.2.1 Partially Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54021.2.2 Gauge Functions and Hahn Banach Theorem . . . . . . . . . . . 54021.2.3 The Complex Version of the Hahn Banach Theorem . . . . . . . 54221.2.4 The Dual Space and Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . 543

21.3 Uniform Convexity of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54621.4 Closed Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55221.5 Weak And Weak ∗ Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

21.5.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55421.5.2 Banach Alaoglu Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55621.5.3 Eberlein Smulian Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

21.6 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56121.7 Lyapunov Schmidt Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56321.8 The Holder Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56721.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

22 Hilbert Spaces 57522.1 Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57522.2 The Hilbert Space L(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58022.3 Approximations in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58222.4 Orthonormal Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58422.5 Compact Operators in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

22.5.1 Nuclear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59022.5.2 Hilbert Schmidt Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

22.6 Roots of Positive Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59522.6.1 The Product of Positive Self Adjoint Operators . . . . . . . . . . 59522.6.2 Roots of Positive Self Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . 596

22.7 Differential Equations in Banach Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59922.8 General Theory of Continuous Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

22.8.1 Generators of Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60222.8.2 Hille Yosida Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60622.8.3 An Evolution Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61022.8.4 Adjoints for Closed Operators, Hilbert Space . . . . . . . . . . . 61222.8.5 Adjoints, Reflexive Banach Space . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

22.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

23 Representation Theorems 621