CONTENTS 7

16.8 Technical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44916.8.1 Steiner Symmetrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45016.8.2 The Isodiametric Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

16.9 The Proper Value of β (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45116.10 A Formula for α (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

17 The Area Formula 45317.1 Estimates for Hausdorff Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45317.2 Comparison Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45517.3 The Area Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45617.4 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46117.5 The Coarea Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46217.6 Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46717.7 Integration and the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

18 Differential Forms 47118.1 The Wedge Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47518.2 The Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47618.3 Stokes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47818.4 Lipschitz Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48218.5 What Does it Mean? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48318.6 Examples of r([a,b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48618.7 Orientation and Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48618.8 Examples of Stoke’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

18.8.1 Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 48818.8.2 Line Integrals for Conservative Fields . . . . . . . . . . . . . . . 48818.8.3 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48818.8.4 Stoke’s Theorem from Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48918.8.5 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

18.9 The Reynolds Transport Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49218.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

III Abstract Theory 499

19 Hausdorff Spaces and Measures 50119.1 General Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50119.2 The Alexander Sub-basis Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50719.3 The Product Topology and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50819.4 Stone Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

19.4.1 The Case of Locally Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . 50919.4.2 The Case of Complex Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . 510

19.5 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51119.6 Measures on Hausdorff Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51219.7 Measures and Positive Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . 51619.8 Slicing Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52019.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

20 Product Measures 523