CONTENTS 5

10.2 Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810.3 Change of Variables, Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24110.4 Differentiable Functions and Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.5 Change of Variables, Nonlinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.6 Mappings Which are Not One to One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24810.7 Mollifiers and Density of Smooth Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.8 Smooth Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.9 Spherical Coordinates in p Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25410.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11 Integration on Manifolds 26111.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26111.2 The Area Measure on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.3 Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811.4 Volumes of Balls in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27211.5 Space Curves and Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27511.7 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.8 The Dirichlet Problem in General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

12 Theorems Involving Line Integrals 28712.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28712.2 Stokes Theorem from Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

12.2.1 The Normal and the Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29112.2.2 The Mobeus Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

12.3 A General Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29312.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

13 Degree Theory 30113.1 Sard’s Lemma and Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30313.2 Properties of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31013.3 Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31213.4 Borsuk’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31313.5 Some Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31613.6 Product Formula, Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31813.7 General Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32313.8 Uniqueness of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32413.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

A Basic Vector Analysis 329A.1 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329A.2 The Box Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332A.3 Proof of the Distributive Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333A.4 Vector Identities and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333A.5 Divergence and Curl of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336A.6 Vector Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

B Curvilinear Coordinates 339