4 CONTENTS

6.10 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.11 A Cofactor Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7 Implicit Function Theorem 1637.1 More Continuous Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2 Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.3 The Method of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.4 Taylor Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.5 Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.6 The Rank Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8 Measures and Measurable Functions 1798.1 Simple Functions and Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.2 Measures and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.3 Dynkin’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.4 Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.5 Measures From Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.6 Measurable Sets Include Borel Sets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.7 Regular Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.8 Constructing Measures From Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9 The Lebesgue Integral 2019.1 Nonnegative Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9.1.1 Riemann Integrals for Decreasing Functions . . . . . . . . . . . 2019.1.2 The Lebesgue Integral for Nonnegative Functions . . . . . . . . 202

9.2 Nonnegative Simple Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.3 The Monotone Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.4 Other Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.5 Fatou’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.6 The Integral’s Righteous Algebraic Desires . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.7 The Lebesgue Integral, L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.8 The Dominated Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.9 Some Important General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9.9.1 Eggoroff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.9.2 The Vitali Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.10 The Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.11 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.12 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.13 The Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.14 Invariance of Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.15 Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.16 Faddeyev’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.17 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10 Regular Measures 23510.1 Measures and Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235