CONTENTS 3

5.4.7 Cofactor Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4.8 Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4.9 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4.10 Upper Triangular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5 The Cayley Hamilton Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5.1 An Identity of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6 Block Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.8 Shur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.9 The Right Polar Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Multi-variable Calculus 976.1 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Open And Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.3.1 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . 996.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.5 Limits Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.7 The Limit Of A Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.7.1 Sequences And Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.2 Continuity And The Limit Of A Sequence . . . . . . . . . . . . 108

6.8 Properties Of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.10 Proofs Of Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.11 The Space L (Fn,Fm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.11.1 The Operator Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.12 The Frechet Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.13 C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.14 Ck Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.15 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.16 Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.16.1 More Continuous Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 1316.17 The Method Of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7 Metric Spaces and Topological Spaces 1357.1 Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2 Open and Closed Sets, Sequences, Limit Points . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 Cauchy Sequences, Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.4 Closure Of A Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.5 Separable Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.6 Compactness In Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.7 Some Applications Of Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.8 Ascoli Arzela Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.9 Another General Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153