4 CONTENTS

7.3.2 Polynomials and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.3.3 The Algebraic Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.3.4 The Lindemannn Weierstrass Theorem and Vector Spaces . . . . . . 208

7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

8 Linear Transformations 2158.1 Matrix Multiplication as a Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 2158.2 L (V,W ) as a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.3 The Matrix of a Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

8.3.1 Rotations About a Given Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.3.2 The Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

8.4 Eigenvalues and Eigenvectors of Linear Transformations . . . . . . . . . . . 2288.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9 Canonical Forms 2339.1 A Theorem of Sylvester, Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.2 Direct Sums, Block Diagonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.3 Cyclic Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.4 Nilpotent Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2449.5 The Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.7 The Rational Canonical Form∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549.8 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

10 Markov Processes 26310.1 Regular Markov Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.2 Migration Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.3 Absorbing States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26710.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

11 Inner Product Spaces 27311.1 General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.2 The Gram Schmidt Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27511.3 Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27811.4 The Tensor Product of Two Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28111.5 Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.6 Fredholm Alternative Again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28411.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28411.8 The Determinant and Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.9 Finding an Orthogonal Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29011.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12 Self Adjoint Operators 29512.1 Simultaneous Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29512.2 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29812.3 Spectral Theory of Self Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30012.4 Positive and Negative Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 30412.5 The Square Root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30612.6 Fractional Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30712.7 Square Roots and Polar Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30812.8 An Application to Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311