6 CONTENTS

15.2.2 Rayleigh Quotients and Estimates for Eigenvalues . . . . . . . . 41915.3 The QR Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

15.3.1 Basic Properties And Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42315.3.2 The Case Of Real Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42615.3.3 The QR Algorithm In The General Case . . . . . . . . . . . . . 43015.3.4 Upper Hessenberg Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

15.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

16 Approximation of Functions and the Integral 44116.1 Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44116.2 Functions of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44316.3 A Generalization with Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . 44616.4 An Approach to the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44616.5 The Müntz Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45216.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

A Homological Methods∗ 455A.1 Singular Simplices and Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456A.2 The Homology Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458A.3 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462A.4 The Boundary Map on Geometric Simplices . . . . . . . . . . . . . . . . 466A.5 The Subdivision Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467A.6 Exact Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474A.7 Computing Homology Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479A.8 The Homology Groups of Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480A.9 Brouwer Fixed Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482A.10 Topological Degree on Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484A.11 Functions Defined on a Subset of Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486A.12 The Degree on Open Subsets of Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491A.13 Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494A.14 Analysis and the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

B The Hausdorff Maximal Theorem 503B.1 The Hamel Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505B.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506