CONTENTS 9

26.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53126.4.1 Mass and Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

26.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

27 The Integral in Other Coordinates 53527.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53527.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53727.3 Cylindrical and Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

27.3.1 Volume and Integrals in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . 53927.3.2 Volume and Integrals in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . 540

27.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54627.5 The General Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54827.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55127.7 The Moment of Inertia and Center of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . 55227.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

28 The Integral on Surfaces 55728.1 The Two Dimensional Area in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55728.2 Surfaces of the Form z = f (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56128.3 MATLAB and Graphing Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56228.4 Piecewise Defined Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56328.5 Flux Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56328.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

29 Calculus of Vector Fields 56729.1 Divergence and Curl of a Vector Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

29.1.1 Vector Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56829.1.2 Vector Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56929.1.3 The Weak Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

29.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57129.3 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

29.3.1 Coordinate Free Concept of Divergence . . . . . . . . . . . . . . 57629.4 Applications of the Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

29.4.1 Hydrostatic Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57729.4.2 Archimedes Law of Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57829.4.3 Equations of Heat and Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57829.4.4 Balance of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57929.4.5 Balance of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58029.4.6 Frame Indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58529.4.7 Bernoulli’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58629.4.8 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58729.4.9 A Negative Observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58829.4.10 Volumes of Balls in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58829.4.11 Electrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

29.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

30 Stokes and Green’s Theorems 59530.1 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59530.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597