4 CONTENTS

6.5 The Kakutani Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.6 Ekeland’s Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.6.1 Cariste Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.6.2 A Density Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7 The Derivative 1837.1 Limits of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.2 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.4 The Matrix of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.5 A Mean Value Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.6 Existence of the Derivative, C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.7 Higher Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937.8 Some Standard Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.9 The Derivative and the Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.10 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.11 A Cofactor Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.12 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8 Implicit Function Theorem 2058.1 Statement and Proof of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.2 More Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.3 The Case of Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2138.5 The Method of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.6 The Taylor Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.7 Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.8 The Rank Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.9 The Local Structure of C1 Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.10 Invariance of Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

II Integration 235

9 Measures and Measurable Functions 2379.1 Simple Functions and Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.2 Measures and their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419.3 Dynkin’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.4 Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2449.5 Measures From Outer Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.6 Measurable Sets Include Borel Sets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.7 An Outer Measure on P (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2509.8 Measures and Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.9 One Dimensional Lebesgue Stieltjes Measure . . . . . . . . . . . . . . . 2579.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258