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1 Review of Some Linear Algebra 151.1 The Matrix of a Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Block Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Hermitian and Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 The Right Polar Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Elementary matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 The Row Reduced Echelon Form Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Finding the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9 The Mathematical Theory of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9.2 The Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9.4 Basic Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.5 Expansion Using Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.9.6 A Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.9.7 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.9.8 Rank of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.9.9 An Identity of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10 The Cayley Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I Topology, Continuity, Algebra, Derivatives 55

2 Some Basic Topics 572.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.4 sup and inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6 lim sup and lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.7 Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.8 The Hausdorff Maximal Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3 Metric Spaces 713.1 Open and Closed Sets, Sequences, Limit Points . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Cauchy Sequences, Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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