Contents

1 Introduction 7

2 The Real and Complex Numbers 92.1 Real and Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Set Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Well Ordering and Archimedean Property . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Arithmetic of Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Completeness of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11 Existence of Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.13 The Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.14 Dividing Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.15 The Cauchy Schwarz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.16 Integer Multiples of Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.17 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Set Theory 413.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Hausdorff Maximal Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Functions and Sequences 534.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4 The Limit of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 The Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.8 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8.1 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

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